Question

如图，P是双曲线的一个分支上的一点，以点P为圆心，1个单位长度为半径作⊙P，设点P的坐标为（x，y）．
（1）求当x为何值时，⊙P与直线y=3相切，并求点P的坐标．
（2）直接写出当x为何值时，⊙P与直线y=3相交、相离．

Answer

（1）利用切线的性质以及反比例函数的性质即可得出，P点的坐标应该有两个求出即可；
（2）利用函数图象进而得出符合要求的答案．
【解析】
（1）设点P的坐标为（x，y），
∵P是双曲线的一个分支上的一点，
∴xy=k=4，
∵⊙P与直线y=3相切，
∴p点纵坐标为：2，
∴p点横坐标为：2，
∵⊙P′与直线y=3相切，
∴p点纵坐标为：4，
∴p点横坐标为：1，
∴x=1或2，
P的坐标（1，4）或（2，2）；

（2）结合图象，即可得出：
当1＜x＜2时，⊙P与直线y=3相交，
当x＞2或0＜x＜1时，⊙P与直线y=3相离．