Question

将非零的自然数按顺序排成如下的三角形数阵：
定义“1”为三角形数阵的第一排，“2  3  4”为三角形数阵的第二排…．观察数阵，探寻规律，解决以下问题：
（1）写出第6排的自然数；
（2）第21排有多少个数？第21排的第一个数和最末一个数分别是多少？
（3）第n排有多少个数？第n排的第一个数和最末一个数分别是多少？
（4）求第10排各数之和；你能求出第n排各数之和吗？试试看．

Answer

通过观察三角形数阵得到：第n排的第一个数为（n-1）2+1，第n排的数的个数为2（n-1）+1，据此解答．
【解析】
观察得到：第n排的第一个数为（n-1）2+1，第n排的数的个数为2（n-1）+1；
因此：
（1）第6排的第1个数为：（6-1）2+11=26，数的个数为2×（6-1）+1=11个，
所以第6排的自然数分别为：26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，36；
（2）第21排有2×（21-1）+1=41个数，第1个数为：（21-1）2+1=401，
最末一个数是401+（41-1）=441；
（3）第n排的数的个数为2（n-1）+1；第n排的第一个数为（n-1）2+1，
最末一个数是（n-1）2+1+2（n-1）+1-1=n2-4n；
（4）第10排有2×（10-1）+1=19个数，第1个数是（10-1）2+1=82，最末一个数是82+（19-1）=100，
所以第10排各数之和是=1729；
第n排的数的个数为2（n-1）+1；第n排的第一个数为（n-1）2+1=n2-2n+2，
最末一个数是（n-1）2+1+2（n-1）+1-1=n2-4n；
所以第n排各数之和是=n3-3n2+n．