Question

如图，在▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，且，BE与AD交于点F．
（1）求证：AF=2FD；
（2）若△DEF的面积为2，求▱ABCD的面积．

Answer

（1）可证明△ABF∽△DEF，，再由，AB=CD，可得出结论；
（2）由（1）得△ABF∽△DEF，则S△ABF：S△DEF=（AF：AD）2，还可证明△EFD∽△EBC，则S△EFD：S△EBC=（ED：EC）2，根据△DEF的面积为2，从而得出S△ABF和S四边形BCDF，再相加即可．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD
∴∠ABF=∠E，∠A=∠FDE
∴△ABF∽△DEF…（2分）
∴．
∵，AB=CD
∴．…（3分）
∴=2．
∴AF=2FD…（4分）

（2）【解析】
∵△ABF∽△DEF，
∴，
又∵△DEF的面积为2，
∴S△ABF=8…（6分），
∵，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠EFD=∠EBC，∠EDF=∠C，
∴△EFD∽△EBC，
∴，
又∵△DEF的面积为2，
∴S△EBC=18…（8分），
∴S四边形BCDF=S△EBC-S△EFD=18-2=16…（9分），
∴S□ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=16+8=24…（10分）．