Question

已知四边形ABCD，以此四边形的四条边为边向外分别作正方形，顺次连接这四个正方形的对角线交点E，F，G，H，得到一个新四边形EFGH．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，则四边形EFGH______（填“是”或“不是”）正方形；
（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，则（1）中的结论______（填“能”或“不能”）成立；
（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，其他条件不变，判断（1）中的结论是否还成立？若成立，证明你的结论，若不成立，请说明你的理由．

Answer

（1）（2）连接EG，FH，可证明EG与FH平分垂直且相等；
（3）连接EF、FG、GH、HE、AE、AH、DG、DH，由四边形ABCD是平行四边形，得AH=DH，再证明△HDG≌△HAE，则HG=HE且∠EHA=∠GHD，同理可证HE=EF=FG，即可得出四边形EFGH是菱形．又因为点H是正方形的对角线的交点，则∠EHG=90°，即可证明四边形EFGH是正方形．
【解析】
（1）是；
连接EG，FH，

∵E，F，G，H分别是四个正方形对角线的交点，
∴EG与FH平分、垂直且相等，
∴四边形EFGH 是正方形；

（2）能；
连接EG，FH，

∵E，F，G，H分别是四个正方形对角线的交点，
∴EG与FH平分，EG=FH，EG⊥FH，
∴四边形EFGH 是正方形；

（3）证明：连接EF、FG、GH、HE、AE、AH、DG、DH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
即以ABCD为边的正方形的对角线也相等，
∵点E、G是上述两个正方形的对角线的交点，
∴AH=DH，
易知∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG+45°=90°+∠ADC，
∵平行四边形ABCD中，有∠BAD=180°-∠ADC，
∴∠HAE=360°-（∠HAD+∠BAD+∠BAE）=360°-[45°+（180°-∠ADC）+45°]=90°+∠ADC，
∴∠HDG=∠HAE，
∴△HDG≌△HAE，
∴HG=HE且∠EHA=∠GHD，
同理可证HE=EF=FG，
∴四边形EFGH是菱形，
∵点H是正方形的对角线的交点，
∴∠AHD=90°，即∠AHG+∠GHD=90°，
∴∠EHG=90°，
∴四边形EFGH是正方形．