Question

若直线y=mx+8和y=nx+3都经过x轴上一点B，与y轴分别交于A、C
（1）填空：写出A、C两点的坐标，A______，C______；
（2）若∠ABO=2∠CBO，求直线AB和CB的解析式；
（3）在（2）的条件下若另一条直线过点B，且交y轴于E，若△ABE为等腰三角形，写出直线BE的解析式（只写结果）．

Answer

（1）由两条直线解析式直接求出A、C两点坐标；
（2）由直线y=mx+8得B（-，0），即OB=，而AO=8，利用勾股定理求AB，根据角平分线性质得比例求m的值，再根据直线BC与x轴的交点为B求n即可；
（3）根据（2）的条件，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧与y轴相交，作AB的垂直平分线与y轴相交，分别求交点坐标．
【解析】
（1）由直线y=mx+8和y=nx+3得A（0，8），C（0，3），
故答案为：（0，8），（0，3）；

（2）令直线y=mx+8中y=0，得B（-，0），即OB=，
又AO=8，
∴AB==8，
∵∠ABO=2∠CBO，
∴=，即24=5×，
解得m=，
又由y=nx+3经过点B，得-=-，解得n=，
∴直线AB：y=x+8，直线CB：y=x+3；

（3）由（2）可知OB=6，AB==10，
当△ABE为等腰三角形时，
直线BE的解析式为：y=3x+18或y=-x-2或y=-x-8或y=x+．