Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AC=3cm，BD=4cm．作DE∥AC，交BC的延长线于E，则下列结论：①四边形ACED是平行四边形；②∠BDE=∠BOC=90°；③BC+AD=BE=5cm；④S_梯形ABCD=S_△BDE；⑤梯形ABCD的高DH==2.4cm，面积为6cm²．其中正确的有（ ）

A．5个
B．4个
C．3个
D．2个

Answer

由AD∥BC，DE∥AC，可推出四边形ACED是平行四边形；再根据AC⊥BD，DE∥AC，推出∠BDC=∠BOC=90°；根据勾股定理即可推出BE的值，再根据平行四边形的性质推出AD=CE，即可求出BC+AD=BE=5cm；然后根据BC+AD=BE，结合梯形与三角形的面积公式即可求出S梯形ABCD=S△BDE；再通过求证△BHD∽△BDE，依据相似三角形的性质，即可推出DH===2.4cm，继而求出梯形ABCD的面积为6cm2．
【解析】
∵AD∥BC，
∴AD∥CE，
∵DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AD=CE，AC=DE，
∵AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∴∠BDC=∠BOC=90°，
∵AC=3cm，BD=4cm，
∴BE=5，
∵BE=BC+CE，
∴BC+AD=BE=5cm，
∵DH⊥BE，
∴S梯形ABCD=（AD+BC）•DH•，S△BDE=BE•DH•，
∵AD+BC=BE，
∴S梯形ABCD=S△BDE，
∵∠DBH=∠EBD，∠DHB=∠EDB，
∴△BHD∽△BDE，
∴，
∴DH===2.4cm，
∴S梯形ABCD=（AD+BC）•DH•=BE•DH•=5×2.4×=6cm2．
所以，总上所述①②③④⑤均正确．
故选A．