Question

对同一图形，从不同的角度看就会有不同的发现，请根据右图解决以下问题：
（1）如图，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，分别以AB、AC所在的直线为对称轴，作出△ABD、△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E、F，延长EB、FC相交于G点，试证明四边形AEGF是正方形；
（2）如图，在边长为12cm的正方形AEFG中，点B是边EG上一点，将边AE、AF分别沿AB、AC向内翻折至AD处，则点B、D、C在一条直线上，若EB=4cm，求△ABC的面积．

Answer

（1）由轴对称及已知条件可以得出∠E=∠F=∠EAF=90°AE=AF，再根据正方形的判定方法就可以得出四边形AEGF是正方形．
（2）根据条件可以求出BG=8，BD=4，设出CF=x，则BC=4+x，GC=12-x，由勾股定理建立等量关系求出x的值，再利用三角形的面积公式就可以求出其值．
【解析】
（1）∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵△ABE与△ABD关于AB对称，△ACF与△ACD关于AC对称，
∴AE=AF，∠E=∠F=90°，∠EAB=∠DAB，∠DAC=∠FAC．
∵∠BAD+∠CAD=45°，
∴∠BAE+∠FAC=45°，
∴∠BAD+∠CAD+∠BAE+∠FAC=90°，
∴四边形AEGF是矩形，
∵AE=AF，
∴矩形AEGF是正方形．

（2）∵四边形AEFG是正方形，
∴∠E=∠G=∠F=90°，AE=GE=GF=AF=12，
∵BE=4，
∴BG=8，
设CF=x，则BC=4+x，GC=12-x，
∴64+（12-x）2=（4+x）2，解得
x=6，
∴BC=10，
∴S△ABC=×10×12=60．