Question

如图，在RT△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时点P从A点开始在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C移动．当一点停止运动，另一点也随之停止运动．设点Q，P移动的时间为t秒．
（1）设△APQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
（2）当t为何值时，△APQ与△ABC相似？
（3）在P、Q的运动过程中，△APQ能否构成等腰三角形？如能求出t，如不能，说明理由．

Answer

（1）根据已知条件求出AB的长，再过点Q作QH⊥AC，交AC与点H，的长△QHA∽△BCA，求出=，即可求出QH的值，最后求S△APQ的值；
（2）先分两种情况进行讨论，当∠APQ=90°时，△APQ∽△ABC，求出t的值和当∠PQA=90°时，△APQ∽△ABC，求出t的值，经检验它们都符合题意即可；
（3）此题分三种情况进行讨论；①当AP=AQ时，得出t的值；②当AQ=QP时，先过Q作QH⊥AC，得出△QHA∽△BCA，即可求出=，得出AH的值，最后求出t的值；③当AP=QP时，先过P作QM⊥AB，得出△APM∽△BCA，求出=，得出AM的值，即可求出t的值；
【解析】
（1）∵BC=8，AC=6，得AB=10，
∴AP=t，CP=6-t，BQ=2t，AQ=10-2t，
过点Q作QH⊥AC，交AC与点H，
∴△QHA∽△BCA，
∴=，
∴=，
∴QH=8-t，
∴S△APQ=AP•QH=t（8-t）=4t-t2；

（2）当∠APQ=90°时，△APQ∽△ABC，
=，
∴=，
∴t=；
当∠PQA=90°时，△APQ∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴t=，
当t为或时，经检验，它们都符合题意，此时△AQP∽△ABC相似；

（3）当AP=AQ时，t=10-2t，解得t=；
当AQ=QP时，过Q作QH⊥AC，交AC于H点，
∴△QHA∽△BCA，
∴=，
∴=，
∴AH=6-1.2t，
∴t=2（6-1.2t），
∴t=；
当AP=QP时，过P作PM⊥AB，交AB于M点，
∴△APM∽△BCA，
∴=，
∴=，
∴AM=t，
∴10-2t=2×t，
解得：t=；
当t=或或时，△APQ能构成等腰三角形．