Question

如图，已知正方形纸片ABCD的边长为4，⊙O的半径为1，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使E A′恰好与⊙O相切于点A′，延长F A′交CD边于点G，则A′G的长是    ．

Answer

根据翻折变换后EA′是⊙0的切线，然后利用切线的性质，有FG⊥EA′，因为点O是正方形的中心，所以AF=CG，再过点F作DC的垂线交DC于S，在直角△FGS中，设AF=x，由翻折可知A′F=x，由圆的半径为1，利用FA+AO表示出OF，由FG=2OF表示出FG，而FS为正方形的边长为4，GS等于正方形的边长CD-CG-DS，而CG=DS=AF=x，故表示出SG，用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到线段AF的长，进而求出A′G的长．
【解析】
如图，作FS⊥CD于点S点，
由翻折可知：△AFE≌△FA′E，
∴FA=FA′，
∵四边形ADSF是矩形，
∴AF=SD，AD=FS，
又正方形是以O为对称中心的中心对称图形，
∴AF=CG，FO=OG=FG，
设AF=A′F=DS=CG=x，
则GS=4-2x，FO=FA′+OA′=1+x，FG=2（1+x）；
在Rt△FSG中，根据勾股定理得FG2=GS2+FS2，
即[2（1+x）]2=（4-2x）2+42，
解得x=，
∴A′G=FG-FA′=2（1+x）-x=．
故答案为：