Question

如图，四边形ABCD的对角线CA平分∠BCD且AD=AB，AE⊥CB于E，点O为四边形ABCD的外接圆的圆心，下列结论：（1）OA⊥DB；（2）CD+CB=2CE；（3）∠CBA-∠DAC=∠ACB；（4）若∠DAB=90°，则CD+CB=CA．其中正确的结论是（ ）

A．（1）（3）（4）
B．（1）（2）（4）
C．（2）（3）（4）
D．（1）（2）（3）

Answer

（1）易知：OA=OB=OD（都是⊙O的半径），因此点O是△ABD的外心，因此O点在BD的垂直平分线上，由于△ABD是等腰三角形，因此OA⊥BD，可证得（1）正确；
（2）本题可通过构建等腰三角形求解；延长CB至F，使BF=CD，连接AF；证△ABF≌△ADC；可的BF=CD，CF=2CE，即可证得（2）的结论也正确；
（3）由（2）可得：∠BAF=∠DAC，因此∠CBA-∠BAF=∠F=∠ACB，可证得（3）的结论正确；
（4）若∠DAB=90°，那么△DAB和△ACF都是等腰直角三角形，那么CF=AC，即CB+CD=AC，显然（4）的结论是错误的．
【解析】
（1）中，根据点O为四边形ABCD的外接圆的圆心，则OA=OB=OD，
即点O也是三角形ABD的外心，
因此O是该三角形三边垂直平分线的交点，
又AB=AD，则OA⊥BD；故（1）正确；
（2）中，延长CB至F，使BF=CD，连接AF，
根据圆内接四边形的对角互补，则∠ADC+∠ABC=180°，
又∠ABC+∠ABF=180°，∴∠ABF=∠ADC，
又AB=AD，BF=CD；∴△ABF≌△ADC，
∴AF=AC，又AE⊥CF，∴CE=EF，
即CD+CB=2CE，故（2）正确；
（3）中，根据（2）中的方法，得∠DAC=∠BAF，
∴∠CBA-∠DAC=∠CBA-∠BAF=∠AFC=∠ACB；因此（3）正确；
（4）中，若∠DAB=90°，则∠DCB=90°，则∠ACE=45°，
得到△ACE是等腰直角三角形，根据（2）中的做法，则CD+CB=2CE=CA，故（4）错误．
因此正确的结论有：（1）（2）（3），故选D．