Question

如图，⊙O和⊙O′的公共弦为AB，若AB分别为⊙O和⊙O′的内接正三角形和内接正六边形的一边，AB=2，则两圆公共部分的面积为    ．

Answer

连OO′交AB于D，交⊙O于C，根据相交两圆的性质得到OO′垂直平分AB，根据AB为⊙O′内接正六边形的一边，得到△O′AB为等边三角形，即有O′A=AB=2，∠AO′B=60°，根据扇形和三角形的面积公式利用AB与⊙O′所形成的弓形的面积=S扇形O′AB-S△O′AB进行计算；再由AB分别为⊙O的内接正三角形，利用等边三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系得到∴AD=1，∠AOB=2∠ACB=120°，∠AOD=60°，OD=AD=，OA=2OD=，然后利用AB与⊙O所形成的弓形的面积=S扇形OAB-S△OAB，最后把两个结果相加即可得到两圆公共部分的面积．
【解析】
如图，连OO′交AB于D，交⊙O于C，则OO′垂直平分AB．
∵AB为⊙O′内接正六边形的一边，
∴△O′AB为等边三角形，
∴O′A=AB=2，∠AO′B=60°，
∴AB与⊙O′所形成的弓形的面积=S扇形O′AB-S△O′AB=-×22=π-；
又∵AB分别为⊙O的内接正三角形，
∴AD=1，∠AOB=2∠ACB=120°，∠AOD=60°，
∴OD=AD=，
∴OA=2OD=，
∴AB与⊙O所形成的弓形的面积=S扇形OAB-S△OAB=-×2×=π-，
∴两圆公共部分的面积=π-+π-=π-．
故答案为π-．