Question

已知，如图：△ABC中，CH是高，∠ACH=2∠ABC，点O是AB上一点，以点O为圆心，OB为半径的⊙O经过点C，
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）连接CO并延长交⊙0于点D，连接BD并延长与∠DCH的平分线CE相交于点E，若⊙O的半径为5cm，CH=4cm，求线段CE的长．

Answer

（1）要证AC是⊙O的切线，只需证明AC⊥CO即可，又∠ACH=2∠ABC，∠COH=2∠ABC，∠HCO+∠COH=90°，可得∠ACH+∠HCO=90°，继而得证；
（2）CD为直径，则∠CBE=90°，∠ACF=∠FCH=∠ACH=∠COH=∠OCB，CE平分∠DCH，且∠FCB=90°，可得∠ECB=∠FCB=45°，在Rt△CBE中，CE=BC，又⊙O的半径为5cm，CH=4cm，根据勾股定理即可求出BC的长．
【解析】
（1）连接OC，
∵∠ACH=2∠ABC，∠COH=2∠ABC，∠HCO+∠COH=90°
∴∠ACH+∠HCO=90°，
∴AC⊥CO，
∴AC是⊙O的切线．

（2）设AB与圆O的另一交点为F，
则∠ACF=∠FCH=∠ACH=∠COH=∠OCB，∠DCH的平分线是CE且∠FCB=90°，
∴∠ECB=∠FCB=45°，
∴CD为直径，
∴∠CBE=90°，
∵CH=4cm，CO=5cm，
∴OH=3cm，BH=OH+OB=8cm，
在Rt△BCH中，根据勾股定理可得：BC==4cm，
∴CE=BC=×4=4cm．