Question

已知，如图：正方形ABCD，AC是对角线，点P是AC上一点，连接PB，以PB为腰作等腰直角三角形△PBE，PE与直线AB相交于点F，连接PD，设AP=nPC．
（1）如图1直接写出：=______

Answer

（1）通过求证△DPC≌△BPC，即可推出PD=BP，然后，通过直角三角形中45°角的函数值，即可推出结论；
（2）由正方形和等腰直角三角形的性质，推出△PFA∽△BPC，△EBP∽△ABC，可得AP：BC=PF：BP，EP：AC=BP：BC，然后根据比例式的性质，即可推出PF：PE=AP：AC，再由AP=2PC，求得AP：AC=2：3，即可推出结果；
（3）结合图形，根据（2）解题思路，由正方形和等腰直角三角形的性质，推出△EBP∽△ABC，△PBC∽△FPA，得出对应边成比例，EP：AC=BP：BC，AP：BC=PF：BP，然后，根据比例式的性质，即可得PE：PF=AC：AP，由PE=5EF，即可推出AC：AP=5：6，求得n的值．
【解析】
（1）；

（2）∵正方形ABCD，AC为其对角线，
∴FAP=∠BCP=45°，
∵等腰Rt△EBP，
∴∠E=∠BPF=∠PAF，
∵∠EFB=∠AFP，
∴∠EBF=∠PBC，
∵∠EBP=∠ABC=90°，
∴∠EBF=∠PBC，
∴△PFA∽△BPC，△EBP∽△ABC，
∴AP：BC=PF：BP，EP：AC=BP：BC，
∴BP：BC=PF：AP，
∴EP：AC=PF：AP，即PF：PE=AP：AC，
∵n=2，
∴AP=2PC，
∴AP：AC=2：3，
∴PF：PE=AP：AC=2：3；

（3）∵正方形ABCD，AC为其对角线，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵等腰直角三角形EBP，
∴∠BEP=∠BPE=45°，
∴△EBP∽△ABC，
∴EP：AC=BP：BC，
∴∠FBE=∠FPA，
∵∠ABC=∠EBP=90°，
∴∠FBE=∠PBC，
∴∠PBC=∠FPA，
∴△PBC∽△FPA，
∴AP：BC=PF：BP，
∴BP：BC=PF：AP，
∵BP：BC=PE：AC，
∴PF：AP=PE：AC，即PE：PF=AC：AP，
∵PE=5EF，
∴PE：PF=5：6，
∴AC：AP=5：6，
∴AP：PC=6：1，
∵AP=nPC，
∴n=6，
∴当n=6时，PE=5EF．
故答案为，6．