Question

如图，已知直线l：y=-2x+12交x轴于点A，交y轴于点B，点C在线段OB上运动（不与O、B重合），连接AC，作CD⊥AC，交线段AB于点D．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）当点D的纵坐标为8时，求点C的坐标；
（3）过点B作直线BP⊥y轴，交CD的延长线于点P，设OC=m，BP=n，试求n与m的函数关系式，并直接写出m、n的取值范围．

Answer

（1）根据图象与坐标轴交点坐标求法得出A、B两点的坐标；
（2）根据点D的纵坐标为8，求出其横坐标，进而利用相似求出C点坐标；
（3）利用相似三角形的性质与判定求出即可．
【解析】
（1）∵y=-2x+12交x轴于点A，交y轴于点B，
∴y=0时，x=6，∴点A坐标为：（6，0）；
x=0时，y=12，∴点B坐标为：（0，12）；

（2）过点D作DN⊥BO，
∵点D的纵坐标为8，
∴点D的横坐标为：8=-2x+12，
解得：x=2，
∴点D的坐标为：（2，8）；
设CO=x，
∴CN=8-x，AO=6，DN=2，
∵CD⊥AC，
∴∠NCD+∠OCA=90°，
∵∠CAO+∠OCA=90°，
∴∠CAO=∠NCD，
∵∠COA=∠DNC=90°，
∴△COA∽△DNC，
∴，
∴，
解得：x1=2，x2=6，
∴点C的坐标为：（0，2），（0，6）；

（3）过点B作直线BP⊥y轴，交CD的延长线于点P，
∵∠NCD=∠CAO，
∠COA=∠CBP，
∴△COA∽△PBC，
∴=，
∵OC=m，BP=n，
则BC=12-m，CO=m，
∴=，
∴n=-+2m，（0＜n≤6，0＜m＜12）．