Question

如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线BC的函数解析式；
（3）在抛物线上，是否存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，代入三点即求得方程式；
（2）设直线BC的函数解析式为y=kx+b，代入BC两点而求得；
（3）由△ABC的底边AB上的高为3，设△PAB的高为h，则|h|=3，则点P的纵坐标为3或-3，分两种情况求得．
【解析】
（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∵抛物线与y轴交于点C的坐标（0，3），
∴y=ax2+bx+3，
又∵抛物线与x轴交于点A（-1，0）、B（4，0），
∴，
∴抛物线的解析式为；

（2）设直线BC的函数解析式为y=kx+b，
∴，
解得，
所以直线BC的函数解析式为y=x+3；

（3）存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，
∵△ABC的底边AB上的高为3，
设△PAB的高为h，则|h|=3，则点P的纵坐标为3或-3，
∴，
∴点P的坐标为（0，3），（3，3），而点（0，3）与C点重合，故舍去．，
∴点P的坐标为，，
∴点P的坐标为：P1（3，3），P2，P3．