Question

在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动．如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：
（1）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm²？
（2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为Scm²，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；写出t为何值时，s的值最小．
（3）当t=时，试判断△DPQ的形状．
（4）计算四边形DPBQ的面积，并探索一个与计算结果有关的结论．

Answer

（1）设出运动所求的时间，可将BP和BQ的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出；
（2）设运动时间为t，首先表示出△PBQ的面积，再利用S五边形APQCD=S矩形ABCD-S△PBQ，求出t的值以及五边形最值即可即可；
（3）表示出DP 2=146.25，PQ 2=29.25，DQ 2=117，进而得到PQ 2+DQ 2=DP 2，得出答案；
（4）根据表示出四边形面积，求出即可．
【解析】
（1）设经过t秒，△PBQ的面积等于8cm2则：
BP=6-t，BQ=2t，
所以S△PBQ=×（6-t）×2t=8，即t2-6t+8=0，
可得：t=2或4，即经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2．

（2）根据（1）中所求出的S△PBQ=PB•BQ=×（6-t）×2t，
整理得S△PBQ=-t2+6t（0＜t＜6）．
则S五边形APQCD=S矩形ABCD-S△PBQ=72-（-t2+6t）=t2-6t+72=（t-3） 2+63（0＜t＜6），
当t=-=3时，S五边形APQCD=63，
故当t=3秒，五边形APQCD的面积最小，最小值是63cm2，

（3）当t=1.5s时，
RP=1.5，BP=4.5，CQ=9，
∴DP 2=146.25，PQ 2=29.25，DQ 2=117，
∴PQ 2+DQ 2=DP 2，
∴△DPQ为Rt△；

（4）SDPBQ=6×12-t×12-×6（12-2t），
=72-36，
=36，
∴四边形DPBQ的面积是固定值36．