Question

已知关于x的方程x²-2（k-1）x+k²=0有两个实数根x₁，x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）若x₁+x₂+x₁x₂=6，求k的值．

Answer

（1）根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac的意义得到△≥0，即4（k-1）2-4×1×k2≥0，解不等式即可得到k的范围；
（2）根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到x1+x2=2（k-1），x1x2=k2，则2（k-1）+k2=6，即k2+2k-8=0，利用因式分解法解得k1=-4，k2=2，然后由（1）中的k的取值范围即可得到k的值．
【解析】
（1）∵方程x2-2（k-1）x+k2=0有两个实数根x1，x2，
∴△≥0，即4（k-1）2-4×1×k2≥0，解得k≤，
∴k的取值范围为k≤；

（2）∵方程x2-2（k-1）x+k2=0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2=2（k-1），x1x2=k2，
∴2（k-1）+k2=6，即k2+2k-8=0，
∴k1=-4，k2=2，
∵k≤，
∴k=-4．