Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，四边形BCED为平行四边形，DE、AC相交于点F．求证：
（1）点F为AC中点；
（2）试确定四边形ADCE的形状，并说明理由；
（3）若四边形ADCE为正方形，△ABC应添加什么条件？并证明你的结论．

Answer

（1）根据三角形的中位线，证出即可；
（2）由题意容易证明CE平行且等于AD，AD=CD=BD，所以得到四边形ADCE为菱形；
（2）应添加条件AC=BC，证明CD⊥AB且相等即可．
证明：（1）∵四边形DBEC是平行四边形，
∴DE∥BC，
∵D为AB中点，
∴DF为△ABC的中位线，
即点F为AC的中点；

（2）∵平行四边形BDEC，
∴CE平行等于BD．
∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∴CE平行且等于AD，
∴四边形ADCE为平行四边形，
又∵AD=CD=BD，
∴四边形ADCE为菱形；

（3）应添加条件AC=BC．
证明：∵AC=BC，D为AB中点，
∴CD⊥AB（三线合一的性质），即∠ADC=90°．
∵四边形BCED为平行四边形，四边形ADCE为平行四边形，
∴DE=BC=AC，∠AFD=∠ACB=90°．
∴四边形ADCE为正方形．（对角线互相垂直且相等的四边形是正方形）