Question

如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D．
（1）若点E是BC边上的中点，连接DE．证明：DE与半圆O相切；
（2）请你写出（1）的逆命题，并判断是否成立．为什么？
（3）若AC、AB的长是方程x²-10x+24=0的两个根，求直角边BC的长．

Answer

（1）利用圆周角定理得出∠ADB=90°，进而得出∠EDB=∠EBD，从而得出∠ODE=∠OBD+∠EBD=90°问题得证；
（2）根据（1）写出逆命题，利用DE为⊙O切线得出∠ODE=∠OBC=90°，进而得出∠C=∠CDE，得出答案；
（3）利用一元二次方程的解法得出方程的根，进而求出BC即可．
【解析】
（1）连接OD、BD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，则∠CDB=90°，
点E为BC的中点，
∴ED=EB，
∴∠EDB=∠EBD，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠ODE=∠OBD+∠EBD=90°，
∴DE是⊙O的切线；

（2）过点D作⊙O的切线交BC于E，证明BE=CE；
证明：如图DE为⊙O切线
∴∠ODE=∠OBC=90°，
∵OB=OD，∴∠ODB=∠OBD，∴∠EDB=∠EBD，
∴ED=EB，
∵∠ODE=90°，
∴∠ODA+∠CDE=180°-90°=90°，
又∠C+∠A=90°，∠OAD=∠ODA，
∴∠C=∠CDE，
∴EC=ED，则EB=EC；

（3）解方程：x2-10x+24=0，
得x1=4，x2=6，
∵AC＞AB，∴AB=4，AC=6，
∴BC==．