Question

如图，将OA=8，AB=6的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M，N以每秒1个单位的速度分别从点A，C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．
（1）点B的坐标为______；用含t的式子表示点P的坐标为______；
（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0＜t＜8），并求当t为何值时，S有最大值？若有，求出这个最大值；
（3）试探究：在上述运动过程中，是否存在某一个时刻，△OPM是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据OA=8，AB=6的矩形OABC，得出B点坐标即可，再利用平行线的性质得出P点坐标即可；
（2）利用PG以及OM的长表示出△OMP的面积即可得出答案；
（3）当OP=PM时，有8-t=2t，当OP=OM时，有，当OM=PM时，有，分别求出即可．
【解析】
（1）延长NP到OA于一点G，
∵NP⊥BC，
∴PG⊥AO，
∵OA=8，AB=6，
∴===，
∵CN=t，
∴PG=t，
∴B（8，6），P（t，）；

（2）∵PG=t，OM=8-t，
∴（0＜t＜8），
当t=4时，S有最大值，最大值为6．

（3）当OP=PM时，有8-t=2t，
解得：，∴M（，0）；
当OP=OM时，有，
解得：，∴M（，0）；
当OM=PM时，有，
解得：，∴M（，0）．
综上所述，M的坐标为（，0）或（，0）或（，0）．