Question

已知二次函数y=ax²+2x+c，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

x	…	-2	-1		1	2	…
y	…	-5		3	4	3	…

（1）求这个二次函数的关系式；
（2）请判断函数有最大值还是最小值，并写出此时x的值与y的值；
（3）若y≥0，则x的取值范围是______．
（4）若A（n，y₁）、B（n+1，y₂）两点均在该函数的图象上，试比较y₁与y₂的大小．

Answer

（1）当x=0或2时，y均等于3，那么此二次函数的对称轴是1，则顶点坐标为（1，4），设出顶点式，把表格中除顶点外的一点的坐标代入可得a的值，也就求得了二次函数的值；
（2）根据二次项系数可得函数有最大值，此时的x，y为顶点坐标中相应的值；
（3）由表格中的值可以判断当y=0或y＞0时x的值在-1和3之间；
（4）分别把A（n，y1），B（n+1，y2）两点代入y=-x2+2x+3，得到y2-y1=（-n2+4n+4）-（-n2+2n+3）=-2n+1，然后讨论：当-2n+1＜0；-2n+1=0；-2n+1＜0即可．
【解析】
（1）由图表可知抛物线y=ax2+2x+c过点（0，3），（1，4），代入解析式求出即可：
，
解得：，
∴二次函数的关系式为：y=-x2+2x+3；

（2）∵y=-x2+2x+3；
=-（x-1）2-4，
∴此函数有最大值，x=1时，y有最大值4；

（3）由表格中的值可以判断当y=0或y＞0时，x的值在-1和3之间；
∴y≥0，则x的取值范围是：-1≤x≤3；

（4）分别把A（n，y1），B（n+1，y2）两点代入y=-x2+2x+3，
得到y2-y1=（-n2+4n+4）-（-n2+2n+3）=-2n+1，
当-2n+1＜0；-2n+1=0；-2n+1＜0时，
当n＞时，y1＞y2；
当n=，y1=y2；
当n＜时，y1＜y2．