Question

已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示，四个顶点的坐标分别为O（0，0），A（10，0），B（8，2），C（0，2），点P在线段OA上（不与O、A重合），将纸片折叠，使点A落在射线AB上（记为点A’），折痕PQ与射线AB交于点Q，设OP=x，折叠后纸片重叠部分的面积为y．（图②供探索用）
（1）求∠OAB的度数；
（2）求y与x的函数关系式，并写出对应的x的取值范围；
（3）y存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时x的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）根据A、B的坐标来求，根据B的纵坐标的绝对值：A、B横坐标的差的绝对值，可得出∠OAB的度数得出∠BAO的度数，
（2）利用当点A′在线段AB上时，∠OAB=60°，PA=PA′，进而求出△A′PA是等边三角形，且QP⊥QA′，即可得出y=S△AQP=A′Q•QP求出即可；当点A′在线段AB的延长线，且点Q在线段AB（不与B重合）上时，纸片重叠部分的图形是四边形（如图②，其中E是PA′与CB的交点），
当点Q与B重合时，分别求出即可；
（3）可分成三种情况进行讨论：
①当A′在AB上时，即当6≤x＜10时，可根据（2）的函数来求出此时y的最大值；
②当A′在AB延长线上但Q在AB上时，即当2≤x＜6时，此时重合部分的面积=三角形AA′P的面积-上面的小三角形的面积，根据AQ和AB的长，我们可得出A′B的长，然后按（2）的方法即可得出上面的小三角形的面积，也就可以求出重合部分的面积；
③当A′在AB延长线上且Q也在AB延长线上时，即当0＜x＜2时，重合部分的面积就是三角形EFQ的面积，那么关键是求出BF，BE的值，知道了AP的长，也就知道了AQ，A′Q的长，根据AB=4我们不难得出BQ的长，有了BQ的长就可以求出A′B，BE的长，在直角三角形BQE中，可根据∠QBF的度数，和BQ的长，来表示出BF的长，这样我们就能表示出EF的长了，又知道EF边上的高是OC的长，因此可根据三角形的面积来求出S的值，然后综合三种情况判断出是否有S的最大值．
【解析】
（1）∵两底边OA=10，CB=8，垂直于底的腰 ，
∴tan∠OAB==，
∴∠OAB=60°．

（2）当点A′在线段AB上时，
∵∠OAB=60°，PA=PA′，
∴△A′PA是等边三角形，且QP⊥QA′，
∴PQ=（10-x）sin60°=（10-x），A′Q=AQ=AP=（10-x），
∴y=S△AQP=A′Q•QP=（10-x）2，
当A´与B重合时，AP=AB==4，
所以此时6≤x＜10；
当点A′在线段AB的延长线，且点Q在线段AB（不与B重合）上时，
纸片重叠部分的图形是四边形（如图②，其中E是PA′与CB的交点），
当点Q与B重合时，AP=2AB=8，点P的坐标是（2，0），
又由（2）中求得当A´与B重合时，P的坐标是（6，0），
所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，2＜x＜6；

（3）y存在最大值．
①当6≤x＜10时，y=（10-x）2，
在对称轴x=10的左边，S的值随着x的增大而减小，
∴当x=6时，y的值最大是2 ；
②当2≤x＜6时，由图②，重叠部分的面积y=S△A′QP-S△A′EB，
∵△A′EB的高是A′B•sin60°，
∴y=（10-x）2-（10-x-4）2×=（-x2+4x+28）=-（x-2）2+4 ，
当x=2时，y的值最大是4 ；
③当0＜x＜2，即当点A′和点Q都在线段AB的延长线是（如图③，其中E是PA´与CB的交点，F是QP与CB的交点），
∵∠EFP=∠FPQ=∠EPF，四边形EPAB是等腰形，
∴EF=EP=AB=4，
∴y=EF•OC=×4×2 =4 ．
综上所述，S的最大值是4 ，此时x的值是0＜x≤2．