Question

如图，已知抛物线C₁的顶点坐标是D（1，4），且经过点C（2，3），又与x轴交于点A、E（点A在点E左边），与y轴交于点B．
（1）抛物线C₁的表达式是______；
（2）四边形ABDE的面积等于______；
（3）问：△AOB与△DBE相似吗？并说明你的理由；
（4）设抛物线C₁的对称轴与x轴交于点F．另一条抛物线C₂经过点E（C₂与C₁不重合），且顶点为M（a，b），对称轴与x轴交于点G，并且以M、G、E为顶点的三角形与以点D、E、F为顶点的三角形全等，求a、b的值．（只需写出结果，不必写解答过程）．

Answer

（1）根据图象可得出A、B、C三点的坐标，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）由于四边形ABDE不是规则的四边形，因此可过D作DF⊥x轴于F，将四边形ABDE分成△AOB，梯形BOFD和△DOE三部分来求．
（3）可先根据坐标系中两点间的距离公式，分别求出AB、BE、DE、BD的长，然后看两三角形的线段是否对应成比例即可．
（4）要使两三角形全等，那么两直角三角形的两直角边应对应相等．
①当EF=EG=2，DF=MG=3，此时M点的坐标可能为（5，4），（5，-4），（1，-4）．
②当EF=MG=2，DF=EG=3，此时M点的坐标可能是（7，2），（7，-2），（-1，2），（-1，-2），综上所述可得出a、b的值．
【解析】
（1）设c1的解析式为y=ax2+bx+c，由图象可知：c1过A（-1，0），B（0，3），C（2，3）三点．

解得：
∴抛物线c1的解析式为y=-x2+2x+3．

（2）∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4．
∴抛物线c1的顶点D的坐标为（1，4）；
过D作DF⊥x轴于F，由图象可知：OA=1，OB=3，OF=1，DF=4；
令y=0，则-x2+2x+3=0，
解得x1=-1，x2=3
∴OE=3，则FE=2．
S△ABO=OA•OB=×1×3=；
S△DFE=DF•FE=×4×2=4；
S梯形BOFD=（BO+DF）•OF=．
∴S四边形ABDE=S△AOB+S梯形BOFD+S△DFE=9（平方单位）．

（3）如图，过B作BK⊥DF于K，则BK=OF=1．
DK=DF-OB=4-3=1．
∴BD==，
又DE==2 ；
AB=，BE=3 ；
在△ABO和△BDE中，
AO=1，BO=3，AB=；
BD=，BE=3 ，DE=2 ．
∵===
∴△AOB∽△DBE．

（4）①当EF=EG=2，DF=MG=4，此时M点的坐标可能为（5，4），（5，-4），（1，-4）．
②当EF=MG=2，DF=EG=3，此时M点的坐标可能是（7，2），（7，-2），（-1，2），（-1，-2），
综上所述可得出a、b的值．
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