Question

如图1，已知直线y=2x（即直线l₁）和直线y=-x+4（即直线l₂），l₂与x轴相交于点A．点P从原点O出发，向x轴的正方向作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时点Q从A点出发，向x轴的负方向作匀速运动，速度为每秒2个单位．设运动了t秒．
（1）求这时点P、Q的坐标（用t表示）．
（2）过点P、Q分别作x轴的垂线，与l₁、l₂分别相交于点O₁、O₂（如图1）．以O₁为圆心、O₁P为半径的圆与以O₂为圆心、O₂Q为半径的圆能否相切？若能，求出t值；若不能，说明理由．（同学可在图2中画草图）

Answer

（1）由函数图象和直接得出1点P的横坐标为t，P点的坐标为（t，0），由-x+4=0得x=8，所以点Q的横坐标为8-2t，点Q的坐标为（8-2t，0）．
（2）将P，Q的横坐标分别代入其关系式，可求出点O1，O2的坐标，分别求出两圆外切与内切时t满足的条件，求出t的值，舍去不符合条件的．
【解析】
（1）点P的横坐标为t，P点的坐标为（t，0），
由-x+4=0得x=8，
所以点Q的横坐标为8-2t，点Q的坐标为（8-2t，0）．（3分）

（2）由（1）可知点O1的横坐标为t，点O2的横坐标为8-2t，
将x=t代入y=2x，得y=2t，
所以点O1的坐标为（t，2t），
将x=8-2t代入y=-x+4，得y=t，
所以点O2的坐标为（8-2t，t），（5分）
①若这两圆外切（如图），连接O1O2，过点O2作O2N⊥O1P，垂足为N．
则O1O2=2t+t=3t，O2N=8-2t-t=8-3t，O1N=2t-t=t，
所以t2+（8-3t）2=（3t）2，（7分）
即t2-48t+64=0，解得t1=24+16，t2=24-16．（9分）
②若这两圆内切，又因为两圆都x轴相切所以点P、Q重合（如图）
此时O1、O2的横坐标相同，即8-2t=t，t=，（10分）
（或：设l2与y轴相交于点M，则=，即=，
所以t=，
所以两圆能相切，这是t的值分别为24+16，24-16和．