Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（-2，-2），半径为．函数y=-x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为AB上一动点
（1）连接CO，求证：CO⊥AB；
（2）若△POA是等腰三角形，求点P的坐标；
（3）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数．

Answer

（1）延长CO交AB于M，过C作CN⊥x轴于N，求出CN=ON，OB=OA，推出∠MOA=∠BAO=45°，求出∠OMA=90°即可；
（2）①当OA=OP时，P在B点；②当AO=AP时，设P的坐标是（x，-x+2），根据勾股定理得出方程（x-2）2+（-x+2）2=22，求出x即可；③当OP=AP时，作OA的垂直平分线交AB于P，此时AP=OP，求出P的横坐标x，代入y=-x+2求出y即可；
（3）设PO切⊙C于D，连接CD，求出OC，根据锐角三角函数求出sin∠DOC，求出∠DOC即可．
（1）【解析】
延长CO交AB于M，过C作CN⊥x轴于N，
∵C（-2，-2），
∴CN=ON=2，
∴∠C=∠NOC=45°，
∵y=-x+2，
当x=0时，y=2，
当y=0时，x=2，
∴A（2，0），B（0，2），
∴OA=OB=2，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∵∠MOA=∠NOC=45°，
∴∠OMA=180°-45°-45°=90°，
∴CO⊥AB．

（2）【解析】
y=-x+2，令y=0，得A（2，0），
令x=0，得B（0，2），
①当OA=OP时，P在B点，此时△POA是等腰三角形；
②当AO=AP时，过P作PH⊥OA于H，设P的坐标是（x，-x+2），
∵在△APH中，根据勾股定理得：PA2=PH2+AH2，
∵PH=-x+2，AH=2-x，
∴PA2=（-x+2）2+（2-x）2，OA2=22，
∴（x-2）2+（-x+2）2=22
解得：x=2±，
当x=2+时，-x+2=-；
当x=2-时，-x+2=；
∴P（2+，-）或（2-，）；
③当OP=AP时，作OA的垂直平分线交AB于P，此时AP=OP，
且P的横坐标是×2=1，
代入y=-x+2得：y=-1+2=1，
∴P（1，1）；
综合上述，P的坐标是（0，2）或（2+，-）或（2-，）或（1，1）．

（3）【解析】
设PO切⊙C于D，连接CD，
则∠CDO=90°，CD=，
OC==2，
∴sin∠DOC===，
∴∠DOC=30°，
∴∠DON=∠AOP=45°-30°=15°，
同理求出是另一条切线时，∠AOP=45°+30°=75°，
答：∠POA的度数是15°或75°．