Question

某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨：
定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形．
结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结果：
甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在______个、______个、______个大小不同的内接正方形．
乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大．
丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小．
任务：（1）填充甲同学结论中的数据；
（2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明；
（3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明．

Answer

（1）分别画一下即可得出答案；
（2）先判断，再举一个例子；例如：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=1，则．
（3）先判断，再举一个例子：设△ABC的三条边分别为a，b，c，不妨设a＞b＞c，三条边上的对应高分别为ha，hb，hc，内接正方形的边长分别为xa，xb，xc．
【解析】
（1）1，2，3．（3分）

（2）乙同学的结果不正确．（4分）
例如：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=1，则．
如图①，四边形DEFB是只有一个顶点在斜边上的内接正方形．
设它的边长为a，则依题意可得：，∴，
如图②，四边形DEFH两个顶点都在斜边上的内接正方形．
设它的边长为b，则依题意可得：，∴．
∴a＞b．（7分）

（3）丙同学的结论正确．
设△ABC的三条边分别为a，b，c，不妨设a＞b＞c，三条边上的对应高分别为ha，hb，hc，内接正方形的边长分别为xa，xb，xc．
依题意可得：=，∴xa=．同理xb=．
∵xa-xb=-=-
=2S（-）
=（b+hb-a-ha）．
=（b+-a-）．
=•（b-a）（1-）．
=•（b-a）（1-）．

又∵b＜a，ha＜b，∴（b-a）（1-）＜0，
∴xa＜xb，即xa2＜xb2．
∴在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小．（10分）