Question

如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上，tan∠ABC=，点P在线段OC上，且PO、PC的长（PO＜PC）是方程x²-12x+27=0的两根．
（1）求P点坐标；
（2）求AP的长；
（3）在x轴上是否存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出直线PQ的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据PO、PC的长（PO＜PC）是方程x2-12x+27=0的两根．解方程x2-12x+27=0，得x1=3，x2=9，得PO=3．即P（0，-3）；
（2）由（1）可知，PO=3，PC=9，OC=12，∠ABC=∠ACO，所以tan∠ACO=，可求得A（-9，0），所以AP=；
（3）先根据梯形的性质求出对应的点Q的坐标，再利用待定系数解出直线PQ解析式为：y=-x-3或y=-x-3．
【解析】
（1）解方程x2-12x+27=0，得x1=3，x2=9，
∵PO＜PC，
∴PO=3，
∴P（0，-3）；

（2）∵PO=3，PC=9，
∴OC=12，
∵∠ABC=∠ACO，
∴tan∠ACO=，
∴OA=9，
∴A（-9，0），
∴AP=；

（3）存在，
①当CQ∥PA时，直线PA的解析式为：y=-x-3，
∴直线CQ的解析式为：y=-x-12，
∴Q（-36，0），
∴直线PQ解析式为：y=-x-3，
②当PQ′∥AC时，直线AC的解析式为：y=-x-12，
∴直线PQ′的解析式为：y=-x-3，
综上所述：直线PQ解析式为：y=-x-3或y=-x-3，
说明：如果学生有不同于本参考答案的解题方法，只要正确，可参照本评分标准，酌情给分．