Question

如图，已知抛物线与x交于A（-1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线顶点为D，△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由．
（3）若点P为第一象限抛物线上一动点，连接BP、PE，求四边形ABPE面积的最大值，并求此时P点的坐标．

Answer

（1）根据B的坐标求出c，设抛物线解析式为y=ax2+bx+3，把A、E的坐标代入得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）根据点的坐标和勾股定理求出BD、DB、DE的长，根据勾股定理的逆定理求出∠DBE=90°，求出=，根据相似三角形的判定求出即可；
（3）四边形ABPE的面积等于△AOB的面积加上四边形BOQP的面积加上△PQE的面积，根据面积公式代入求出，化成二次函数的顶点式，即可求出答案．
【解析】
（1）∵抛物线与y轴交于点（0，3），
∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3，
根据题意得：，
解得：，
∴抛物线的解析式是y=-x2+2x+3．
解法二、∵设解析式是y=a（x-3）（x+1），
把B（0，3）代入得：3=a（0-3）（0+1），
a=-1，
即y=-1（x-3）（x+1）=-x2+2x+3，
∴抛物线的解析式是y=-x2+2x+3．

（2）相似，
证明：过D作DF⊥x轴于F，过B作BG⊥DF于G，
如图，BD===，BE===3，
DE===2，
∴BD2+BE2=20，DE2=20，
∴DB2+BE2=DE2，
∴△BDE是直角三角形，
∴∠AOB=∠DBE=90°，且==，
∴△AOB∽△DBE．

（3）【解析】
设点P的坐标为（x，y），过P作PQ⊥X轴于Q，
则=，
当时，四边形ABPE面积最大，
此时，点P的坐标为．