Question

一个三角形三边长分别为5，12，13，R是其外接圆半径，r是其内切圆半径，则R-r 的值（ ）
A．4.5
B．3.5
C．5.5
D．2.5

Answer

根据勾股定理的逆定理推出∠C=90°，连接OE、OQ，根据圆O是三角形ABC的内切圆，得到AE=AF，BQ=BF，∠OEC=∠OQC=90°，OE=OQ，推出正方形OECQ，设OE=CE=CQ=OQ=r，得到方程12-r+5-r=13，求出方程的解即可，进而得出其外接圆半径，即可得出答案．
【解析】
∵AC2+BC2=25+144=169，AB2=169，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠C=90°，
连接OE、OQ，
∵圆O是三角形ABC的内切圆，
∴AE=AF，BQ=BF，∠OEC=∠OQC=∠C=90°，OE=OQ，
∴四边形OECQ是正方形，
∴设OE=CE=CQ=OQ=r，
∵AF+BF=13，
∴12-r+5-r=13，
∴r=2，
∵直角三角形斜边长是直角三角形外接圆直径，
∴其外接圆半径为：R=6.5，
∴R-r=6.5-2=4.5．
故选：A．