Question

如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）两点，抛物线交y轴于点C（0，3），点D为抛物线的顶点．直线y=x-1交抛物线于点M、N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q．
（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）问点P在何处时，线段PQ最长，最长为多少；
（3）设E为线段OC上的三等分点，连接EP，EQ，若EP=EQ，求点P的坐标．

Answer

（1）直接利用待定系数法将A、B、C的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）就可以求出抛物线的解析式．
（2）根据抛物线的解析式和直线的解析式及PQ⊥x轴可以设出P点的横坐标，从而可以表示出P、Q的坐标，再利用P、Q的纵坐标之差表示出PQ的长，最后利用抛物线的最值就可以求出PQ的值及P点的坐标．
（3）由条件求出E点的坐标，再由条件表示出P、Q的坐标，然后根据两点间的距离公式就可以分情况求出点P的坐标．
【解析】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C（0，3），由题意，得
，
解得：
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3，
∴y=-（x-1）2+4，
∴D（1，4）；

（2）∵PQ⊥x轴，
∴P、Q的横坐标相同，
∵P点在直线y=x-1上，设P（a，a-1），则Q（a，-a2+2a+3），
∴PQ=-a2+2a+3-a+1=-a2+a+4，
∴PQ=-（a-）2+，
∴当a=时，线段PQ最长为，则P点坐标为（，-）；

（3）∵E为线段OC上的三等分点，且OC=3，
∴E（0，1）或E（0，2），
设P（p，p-1）（在y=x-1上），则Q（p，-p2+2p+3）．
当E（0，1）时，
∵EP=EQ，
∴（p-0）2+（p-1-1）2=（p-0）2+（-p2+2p+3-1）2，
∴p2+（p-2）2=p2+（p2-2p-2）2，
（p-2）2=（p2-2p-2）2，
①当 p2-2p-2=p-2时，
∴p（p-3）=0，
∴p=0或3，
当p=0，P（0，-1），Q（0，3），
当p=3，P（3，2），Q（3，0），
过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q．
∵直线y=x-1交抛物线于点M、N两点，
∴x-1=-x2+2x+3，
解得：x1=，x2=，
M的横坐标为，N点的横坐标为，
∴P点横坐标：大于等于小于等于，
∴P（3，2），Q（3，0）不符合要求舍去；
②p2-2p-2=-p+2，
整理得：p2-p-4=0，
解得：P1=，p2=，
∵直线y=x-1交抛物线于点M、N两点，
∴x-1=-x2+2x+3，
解得：x1=，x2=，
M的横坐标为，N点的横坐标为，
∵过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q．
∴P点横坐标：大于等于小于等于，
当E（0，2）时，
∵EP=EQ，
∴（p-0）2+（p-1-2）2=（p-0）2+（-p2+2p+3-2）2，
p2+（p-3）2=p2+（p2-2p-1）2，
∴（p-3）2=（p2-2p-1）2．
③当 p2-2p-1=p-3时，
∴（p-1）（p-2）=0
∴p=1或2．
当p=1时，P（1，0），Q（1，4）
当p=2时，P（2，1），Q（2，3）
④p2-2p-1=-p+3
p2-p-4=0，
解得：P1=＜-1，p2=＞2，
P（，）或（）．
综上所述，P点的坐标为：P（0，-1），P（1，0），P（2，1），P（，）或（）．
∵点P在线段MN上，
∴P点的坐标为：P（0，-1），P（1，0），P（2，1）．