Question

如图，直角坐标系中，有一半径为的动圆⊙M，其圆心M从点（3，6）出发以每秒0.5个单位长度的速度沿y轴方向向下运动，当⊙M与直线y=x相切时，则⊙M运动的时间为    秒．

Answer

分两种情况考虑：当圆M在直线y=x上方与直线相切时，根据题意画出图形，如图所示，连接MB，过M作MA于x轴垂直，与直线y=x交于C点，根据直线y=x为第一、三象限的角平分线，得到三角形OAC及三角形MCB都为等腰直角三角形，由切线的性质得到MB=BC都等于圆的半径，根据勾股定理求出MC的长，OA=CA都等于M的横坐标，求出CA的长，用MC+CA得到MA的长，用原来M的纵坐标减去MA的长即为M运动的路程，利用路程除以速度即可求出此时M运动的时间；
当圆M在直线y=x下方与直线相切时，根据题意画出图形，连接MD，过M作x轴垂线，同理可得三角形EOF及三角形DOM都为等腰直角三角形，在三角形DEM中，根据勾股定理求出EM的长，根据M的横坐标求出EF=OF的长，利用EF-EM求出EF的长，即为此时M的纵坐标，用原来M的纵坐标减去EF可求出M运动的路程，利用路程除以速度即可求出M运动的时间．
【解析】
若圆M在上方与直线y=x相切，此时切点为B，如图1所示：
连接MB，则有MB⊥OB，过M作MA⊥x轴，与OB交于点C，
∵圆M的半径为，即MB=，∠MCB=∠OCA=∠COA=45°，
在Rt△MCB中，由MB=BC=，
利用勾股定理得：MC=2，又M（3，6），
∴OA=AC=3，
则MA=MC+CA=2+3=5，
∴M运动了1个单位，又M的运动速度为每秒0.5个单位长度，
则此时用的时间为2秒；
若M在下方与直线y=x相切，此时切点为D，如图2所示：
连接MD，过M作x轴的垂线，交y=x于E，交x轴于F，
∵M（3，6），又∠EOF=∠DEF=45°，
∴OF=EF=3，DE=DM=，
在Rt△DEM中，根据勾股定理得：EM=2，
此时MF=EF-EM=3-2=1，即M运动的路程为5个单位长度，
则此时用的时间是10秒，
综上，圆M的运动时间是2或10秒．
故答案为：2或10秒