Question

如图（1），已知：正方形OABC，A、C分别在x轴、y轴上，点B在第一象限；将一直角三角板的直角顶点置于点B处，设两直角边（足够长）分别交x轴、y轴于点E、F，连接EF．
（1）判断CF与AE的大小关系，并说明理由．
（2）已知F（0，6），EF=10，求点B的坐标．
（3）如图（2），已知正方形OABC的边长为6，若将三角板的直角顶点移到BC的中点M处，旋转三角板；当点F在OC边上时，设CF=x，AE=y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．

Answer

（1）根据条件可以证明△BFC≌△BEA，由全等三角形的性质就可以得出CF=AE．
（2）利用勾股定理就可以求出OE的值，再建立方程求出正方形的边长，从而可以求出B的坐标．
（3）分情况讨论，当点E在OA上和点E在OA的延长线上时利用三角形的相似就可以求出y于x之间的函数关系式．
【解析】
（1）CF=AE 
∵四边形OABC是正方形，
∴BA=BC，∠ABC=∠BOC=∠OAB=90°，
∴∠BCF=∠BAE
∵∠FBE=90°，
∴∠FBC=∠EBA．
∴Rt△BFC≌Rt△BEA，
∴CF=AE．

（2）在Rt△OEF中，由勾股定理，得
EF2=OE2+OF2，
∵F（0，6），
∴OF=6，
∵EF=10，
∴100=OE2+36，
∴OE=8．设CF=AE=x，
∴6+x=8-x，
∴x=1，
∴OC=7，
∴OA=7，
∴B（7，7）

（3）当≤x≤6时，y=2x-3
当0≤x＜时，y=3-2x