Question

如图，抛物线y=x²+bx+c经过A（-2、0）B（2、4）两点，与x轴的另一交点为D，点P（x、y）是线段AB上的一个动点，过P点的直线PQ⊥x轴，与抛物线相交于点Q．
（1）求b、c的值
（2）求线段PQ长度的最大值
（3）当PQ的长度取最大值时，在抛物线上是否存在M、N两点（点M的横坐标小于N 的横坐标），使得P、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出MN的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）将A（-2、0）B（2、4）两点的坐标直接代入y=x2+bx+c就可以求出b、c的值，从而可以求出抛物线的解析式．
（2）根据A（-2、0）B（2、4）两点的坐标可以求出经过A、B两点的直线的解析式，由点P（x、y），可以表示出P、Q的坐标，从而可以表示出PQ的值，根据抛物线的最值就可以PQ的最值．
（3）根据抛物线的解析式就可以求出D点的坐标，根据最值就可以求出P的坐标，从而求出PD的值，根据平行四边形的性质就可以表示出M、N的坐标，由两点间的距离公式就可以求出M、N的坐标．
【解析】
（1）∵y=x2+bx+c经过A（-2、0）B（2、4）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=x2+x-2．

（2）∵A（-2、0），B（2、4），设直线AB的解析式为：y=kx+b，则：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y=x+2．
∵PQ⊥x轴，P（x、y），
∴P（x，x+2），Q（x，x2+x-2），
∴PQ=x+2-x2-x+2=-x2+4=-（x-0）2+4，
∴当x=0时，PQ的最大值为4，
∴P（0，2）

（3）当y=0时，则x2+x-2=0，
∴x1=-2，x2=1，
∴D（1，0）．
∴由勾股定理得PD=
∵四边形PDNM是平行四边形，
∴PD=MN，
∵点M的横坐标小于N 的横坐标，设M（a，a2+a-2），N（a+1，a2+3a），（a＜0）
∴（a+1-a）2+（a2+3a-a2-a+2）2=5，
∴a1=0（不合题意），a2=-2
∴M（-2，0），N（-1，-2）