Question

如图．矩形ABCD中，AB=1，BC=2，将矩形ABCD绕D点顺时针旋转90° 得矩形A′B′C′D，再将矩形A′B′C′D绕C′顺时针旋转90°得矩形A″B″C′D′．
（1）求两次旋转点A经历的轨迹的总长度；
（2）求阴影部分①的面积；
（3）求阴影部分②的面积（在直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么它所对的角等于30度．）．

Answer

（1）连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC，利用勾股定理求出AC的长，由旋转可知AC=A′C′=A″C′，然后利用SAS证明△AB′C′≌△C′D′A″，根据全等三角形的对应角相等及同角的余角相等，可得∠A′C′A″=90°，由图形可知两次旋转点A经历的轨迹的总长度为和两弧长之和，利用弧长公式求出即可；
（2）阴影部分①的面积利用扇形A′C′A″的面积减去△AB′C′的面积，再减去△C′D′A″的面积，由△AB′C′≌△C′D′A″，且两三角形面积之和为矩形ABCD的面积，故利用扇形的面积公式及矩形的面积公式求出即可；
（3）由ED=2，CD=1，三角形ECD为直角三角形，根据在直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么它所对的角等于30度可得∠ADE=∠CED=30°，阴影部分②的面积等于扇形AED的面积加三角形ECD的面积，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式求出即可．
【解析】
（1）连接AC，在Rt△ABC中，
∵AB=1，BC=2，
∴根据勾股定理得：AC==，
由旋转可知A′C′=A″C″=，A′D=AD=BC=2，
又A′B′=C′D′，∠A′B′C′=∠A″D′C′=90°，B′C′=D′A″，
∴△AB′C′≌△C′D′A″（SAS），
∴∠AC′B′=∠C′A″D′，又∠C′A″D′+∠D′C′A″=90°，
∴∠C′A″D′+∠AC′B=90°，即∠A′C′A″=90°，
则两次旋转点A经历的轨迹的总长度为+=+=；

（2）∵△AB′C′≌△C′D′A″，且两三角形面积都为矩形面积的一半，
∴阴影部分①的面积S=S扇形A′C′A″-2S△AB′C′
=S扇形A′C′A″-S矩形=-1×2=；

（3）∵ED=A′D=AD=BC=2，CD=AB=1，且∠ECD=90°，
∴∠CED=30°，又BC∥AD，
∴∠ADE=30°，
又在Rt△ECD中，ED=2，CD=1，
根据勾股定理得：EC==，
则阴影部分②的面积S=S扇形ADE+S△ECD=+××1=．