Question

已知⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，且点O₂在⊙O₁上．
（1）如图1，AD是⊙O₂的直径，连接DB并延长交⊙O₁于C，求证：CO₂⊥AD；
（2）如图2，如果AD是⊙O₂的一条弦，连接DB并延长交⊙O于C，那么CO₂所在直线是否与AD垂直？证明你的结论．

Answer

（1）连接AB．根据直径所对的圆周角是直角，得∠ABD=90°；根据等弧所对的圆周角相等，得∠A=∠C，再进一步根据两角对应相等，得△ABD∽△CO2D，从而证明结论；
（2）连接AO2并延长交圆于E，连接DE、AB．根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADE=90°；根据等弧所对的圆周角相等，得∠C=∠1=∠2，从而证明∠ADC+∠C=90°，证明结论．
（1）证明：连接AB，
∵AD是⊙O2的直径，
∴∠ABD=90°，
∵∠D=∠D（公共角），∠A=∠C（同弧所对的圆周角相等），
∴△ABD∽△CO2D，
∴∠ABD=∠CO2D=90°，
即CO2⊥AD．

（2）【解析】
CO2⊥AD．理由如下：
连接AO2并延长交圆于E，连接DE、AB，
∵AE是圆的直径，
∴∠ADE=90°，
又∠C=∠1=∠2，
∴∠ADC+∠C=90°，
则CO2⊥AD．