Question

如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，OC∥AD交⊙O于E，点F在CD延长线上，且∠BOC+∠ADF=90°．
（1）求证：；
（2）求证：CD是⊙O的切线．

Answer

（1）证明弧相等可转化为证明弧所对的圆心角相等即证明∠BOC=∠COD即可；
（2）由（1）可得∠BOC=∠OAD，∠OAD=∠ODA，再由已知条件证明∠ODF=90°即可．
证明：（1）连接OD．
∵AD∥OC，
∴∠BOC=∠OAD，∠COD=∠ODA，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∴∠BOC=∠COD，
∴=；

（2）由（1）∠BOC=∠OAD，∠OAD=∠ODA．
∴∠BOC=∠ODA．
∵∠BOC+∠ADF=90°．
∴∠ODA+∠ADF=90°，
即∠ODF=90°．
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．