Question

已知关于x的两个一元二次方程：
方程①：；   
方程②：x²+（2k+1）x-2k-3=0．
（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；
（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根，并化简；
（3）若方程①和②有一个公共根a，求代数式（a²+4a-2）k+3a²+5a的值．

Answer

（1）根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式的意义得到1+≠0且△1=0，即（k+2）2-4（1+）×（-1）=0，求出满足条件的k的值，然后代入方程②，用公式法解方程即可；
（2）由于△2=（2k+1）2+4（2k+3）=4k2+12k+13=（2k+3）2+4＞0，则方程①没有实数根，得到△1＜0，即有（k+2）（k+4）＜0，然后条件此条件把二次根式化简即可；
（3）设a 是方程①和②的公共根，则  ③，a2+（2k+1）a-2k-3=0④，通过变形得到ka2=2（k-1）a-4k-4⑤，a2=-（2k+1）a+2k+3⑥，
然后把它们代入所求的代数式即可得到结论．
【解析】
（1）∵方程①有两个相等实数根，
∴1+≠0且△1=0，即（k+2）2-4（1+）×（-1）=0，则（k+2）（k+4）=0，解此方程得k1=-2，k2=-4，
而k+2≠0，
∴k=-4，
当k=-4时，方程②变形为：x2-7x+5=0．
解得  
（2）∵△2=（2k+1）2+4（2k+3）=4k2+12k+13=（2k+3）2+4＞0，
因此无论k为何值时，方程②总有实数根，
∵方程①、②只有一个方程有实数根，
∴此时方程①没有实数根，
∴△1＜0，
∴（k+2）（k+4）＜0，
∴=||=-；
（ 3）设a 是方程①和②的公共根，
∴  ③，
a2+（2k+1）a-2k-3=0④，
由（③-④）×2得：ka2=2（k-1）a-4k-4⑤，
由④得：a2=-（2k+1）a+2k+3⑥，
将⑤、⑥代入原式，得
∴原式=ka2+4ak-2k+3a2+5a
=2（k-1）a-4k-4+4ak-2k-3（2k+1）a+6k+9+5a
=5．