Question

已知二次函数图象的顶点为D（1，-4），且经过点A（-1，0）．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，试判断△BCD的形状，并说明理由；
（3）设经过B、C、D三点的圆的圆心为O′，设⊙O′与x轴的另一个交点为E，求线段BE的长．

Answer

（1）由二次函数的顶点坐标以及A点坐标，利用顶点式求出二次函数解析式即可；
（2）首先求出二次函数与坐标轴交点坐标，进而得出CD，BD，BC的长度，进而得出答案；
（3）利用直角三角形的性质得出四边形OMDE是矩形，进而求出即可．
【解析】
（1）∵二次函数图象的顶点为D（1，-4），且经过点A（-1，0），
∴二次函数解析式为：y=a（x-1） 2-4，
将A（-1，0）代入解析式得：0=a（-1-1） 2-4，
∴a=1，
∴二次函数的关系式为：y=（x-1） 2-4；

（2）∵抛物线与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，
∴0=（x-1） 2-4；
x1=-1，x2=3，
∴点B坐标为：（3，0），
y=（0-1） 2-4=-3，
∴点C坐标为：（0，-3），
过点D作DM⊥y轴，DN⊥BN，BN∥y轴，
∴CD==，
BD===2，
BC==3，
∴CD2+BC2=BD2，
∴△BCD是直角三角形；

（3）连接ED，
∵△BCD是直角三角形．
∴BD是⊙O′的直径，
∴∠DEB=90°，
∵∠MOE=90°，∠OMD=90°，
∴四边形OMDE是矩形，
∴MD=OE=1，
∴E点坐标为：（1，0）．
∴BE=2．