Question

如图1，在平面直角坐标系xoy中，Rt△AOB的斜边OB在x轴上，其中∠ABO=30°，OB=4．
（1）直接写出，Rt△AOB的内心P的坐标；
（2）如图2，若将Rt△AOB绕其直角顶点A顺时针旋转α度（0°＜α＜90°），得到Rt△ACD，直角边AD与x轴相交于点N，直角边AC与y轴相交于点M，连接MN．设△MON的面积为S_△MON，△AOB的面积为S_△AOB，以点M为圆心，MO为半径作⊙M，
①当直线AD与⊙M相切时，试探求S_△MON与S_△AOB之间的关系．
②当S_△MON=S_△AOB时，试判断直线AD与⊙M的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）利用直角三角形内切圆半径求法直接得出即可；
（2）①利用切线的性质得出△AMN∽△ACD，进而得出=（）2=（）2=；
②根据相似三角形的性质得出MO与BN的关系得出，AM的长，进而得出直线AD与⊙M的位置关系．
【解析】
（1）r==-1
则P的坐标是：（3-，-1）；

（2）①当AO与⊙M相切时，过M作MN⊥AO于点H，则MH=OM，此时，点H与点A重合．
∴OM=MA
∵∠MOA=α
∠AON=90°-α，∠OAN=90°-α
∠ONA=2α
∴α=30°
∵MN∥CD
∴△AMN∽△ACD
∴=（）2=（）2=；
②∵S△AMN=S△AOB=S△ACD，
∴=，
∵由（2）不难得出：∠MAO=∠BAN，∠AOM=∠ABO，
∴△OAM∽△ANB，
∴===，
∵设OM=x，BN=x，NO=4-x，
∴=，
解得：x1=，x2=，
∴当x=时，OM=，NO=1，
∴MN=2，∴AM=1，
∵d＜r，
∴直线AD与⊙M相交，
当x=时，MO=，NO=3，
∴NM==，
∴AM=，
∵＞，
∴直线AD与⊙M相离．