Question

如图1，在直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B为x轴正半轴上一点，点D的坐标为（-，1），△AOD和△BDC（点B、D、C沿顺时针方向排列）都为等边三角形．
（1）求证：△BOD≌△CAD；
（2）若△BDC的边长为7，求AC的长及点C的坐标；
（3）设（2）中点B的位置为初始位置，点B在x轴上由初始位置以1个单位/秒的速度向左运动，等边△BCD的大小也随之变化，在运动过程中△AOC是否能成为等腰三角形？如果能，请直接写出运动时间t的值；如果不能，请说明理由．

Answer

（1）由条件可以求出DC=DB，DA=DO，∠CDA=∠ODB，从而可以求出△BOD≌△CAD，
（2）作DE⊥x轴于点E，由点D的坐标可以求出DE、OE的值，在Rt△DEB中由勾股定理可以求出BE的值进而求出OB的值，可以代换出AC的值，设出C点的坐标，利用两点间的距离公式建立方程组就可以求出点C的坐标．
（3）点B在运动的过程中就会有AC=AO，OC=AC，OA=OC的不同情况下△AOC为等腰三角形，根据AC=OB的条件就可以求出其对应的t值．
【解析】
（1）∵△AOD和△BDC是等边三角形，
∴DC=DB，DA=DO，∠CDB=∠ODA=60°，
∴∠CDB-∠ADO=∠ODA-∠ADO，
∴∠CDA=∠ODB，
∴△BOD≌△CAD；
（2）作DE⊥x轴于点E，
∵△BOD≌△CAD，
∴OB=AC，
∵点D的坐标为（-，1），
∴DE=1，OE=，
∴在Rt△BDE中，BD=CD=BC=7，由勾股定理，得
BE=4，
∴OB=3
∴AC=3．B（3，0）
如图，设点C（x，y），在Rt△DHC和Rt△CGB中，由勾股定理，得
，解得或（不符合题意）
∴C（）．   
（3）如图（1）当OA=AC时，△AOC是等腰三角形，
∵OB=AC，
∴OA=OB=2，
∴t=3-2．

如图（2），当B运动到B′时，C点落在OA的垂直平分线上C′时，△AOC是等腰三角形，△DB′C′是等边三角形，连接OC′，
∴四边形DB′OC′是菱形，
∴B′D=B′O=OC′，OE=1，C′E=，
∴OC′=，
∴t=+3=
如图（2）当B运动到B″时，B″O=DO，这时AO=AC″，△AOC是等腰三角形，
∴OB″=2，
∴t=OB″+OB=3+2，
如图（2）当B运动到B3时，点C3在AO的中垂线上时，△AOC3是等腰三角形，
∴△B3DO是Rt△，且∠DB3O=60°，∠B3OD=30°，
∴∠B3DO=90°，且OD=2，由勾股定理，得
∴OB3=，
∴t=3+=，
∵点B、D、C要沿顺时针方向排列，
∴t值不存在．
当B运动到B5时，DB5=DO=2，C点在第三象限，即C5．
∴∠DB5O=∠B5OD=30°．
∵△B5C5D是等边三角形，
∴∠B5DC5=60°，
∴DC5⊥OB5．
∴由勾股定理可以求出OB5=，
∴OB5=2，∴t=2+3=5
综上所述：∴，t4=5．
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