Question

如图，第1个图形是一个面积为1的黑色等边三角形，顺次连接它的三边中点，得到第2个图形（中间的小三角形变为白色）；在第2个图形的每个黑色三角形中分别重复上述的作法，得到第3个图形；如此继续作下去，则在得到的第5个图形中，所有黑色三角形的面积和是（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer

首先将所给的图②与图③中的黑色三角形的面积和求出来，注意利用相似三角形的面积比等于相似比的平方．然后得到规律：第n个图形中所有黑色三角形的面积和是：（ ）n-1，代入即可求得．
【解析】
∵D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
∴，
∴△DEF∽△ABC，
∴=（ ）2=（ ）2，
∴S△DEF=，
∴图②中所有黑色三角形的面积和是：1-=，
同理：图三中各黑色三角形的面积和为：1-×3-==（ ）2，
∴可得第n个图形中所有黑色三角形的面积和是：（）n-1．
∴在得到的第5个图形中，所有黑色三角形的面积和是：（）4=．
故选：D．