Question

在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，-3）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使点P到A、C两点间的距离之和最小．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如果在x轴上方平行于x轴的一条直线交抛物线于M，N两点，以MN为直径作圆恰好与x轴相切，求此圆的直径．

Answer

（1）利用待定系数法求二次函数解析式得出即可；
（2）利用对称性可知，A点的坐标为（-1，0），进而得出直线BC的解析式，即可求出P点坐标；
（3）首先表示出M点的坐标，进而代入二次函数解析式得出r的值，即可得出答案．
【解析】
（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2+c，
把B（3，0），C（0，-3）代入得：
，
解得a=1，c=-4，
∴抛物线的解析式为y=（x-1）2-4，
即y=x2-2x-3；

（2）存在．
∵由对称性可知，A点的坐标为（-1，0），
∵C点坐标为（0，-3），B点坐标为（3，0），
∴直线BC的解析式为y=x-3，
∵P点在对称轴上，设P点坐标为（1，y）代入y=x-3，
求得P点坐标为（1，-2）；

（3）证明：设圆的半径为r，
依题意有M（1-r，r），N（1+r，r）把M的坐标代入y=x2-2x-3，
整理得：r2-r-4=0，
解得（舍去），
∴所求圆的直径为．