Question

如图，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始，沿AB边向点B以1cm/S的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，（其中一点到达终点，另一点也停止运动），设经过t秒．
（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于△ABC的面积的？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于10cm²？请说明理由．
（3）若P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，PQ的长度等于6cm？
（4）P、Q在移动的过程中，是否存在某一时刻t，使得PQ∥AC？若存在求出t的值，若不存在请说明理由．

Answer

（1）首先表示出AP=t，BQ=2t，PB=AB-AP=6-t，再得出S△PBQ与S△ABC面积，利用S△PBQ=S△ABC求出即可；
（2）利用S△PBQ=t（6-t），假设等于10，利用根的判别式求出即可；
（3）根据PQ=6，利用勾股定理BP2+BQ2=PQ2，求出即可；
（4）当PQ∥AC时，则△BPQ∽△BAC，得出对应边的关系，再求出t即可．
【解析】
（1）∵P、Q移动t秒时AP=t，BQ=2t，
则PB=AB-AP=6-t，
∴S△PBQ=，
∵S△ABC==，
当S△PBQ=S△ABC时，则t（6-t）=，
t2-6t+8=0，
t1=2，t2=4，
∴当t=2或4时，△PBQ的面积等于△ABC的面积的．

（2）不存在t的值，得△PQB的面积等于10cm2．
理由：设S△PQB=10，由（1）知：S△PBQ=t（6-t），
∴t（6-t）=10，整理得t2-6t+10=0，
∵△=（-6）2-4×1×10=-4＜0，
∴该方程无解，
∴不存在t的值，使得△PQB的面积等于10cm2．

（3）当PQ=6时，在Rt△PBQ中，∵BP2+BQ2=PQ2，
∴（6-t）2+（2t）2=62，
5t2-12t=0，
t（5t-12）=0，
t1=0，t2=，
∵t=0时不合题意，舍去，
∴当t=时，PQ的长度等于6cm．

（4）当PQ∥AC时，则△BPQ∽△BAC，
∴，
∴整理得3t=12-2t，
∴t=，
∴当t=时，PQ∥AC．