Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）当AB=5，BC=6时，求DE的长．

Answer

（1）连接OD，由AC=AB，根据等边对等角得到一对角相等，再由OD=OB，根据等边对等角得到又一对角相等，等量代换可得一对同位角相等，根据同位角相等两直线平行可得OD与AC平行，又EF垂直于AC，根据垂直于两平行线中的一条，与另一条也垂直，得到EF与OD也垂直，可得EF为圆O的切线；
（2）连接AD，由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得∠ADB=90°，即AD与BC垂直，又AC=AB，根据三线合一得到D为BC中点，由BC求出CD的长，再由AC的长，利用勾股定理求出AD的长，三角形ACD的面积有两种求法，AC乘以DE除以2，或CD乘以AD除以2，列出两个关系式，两关系式相等可求出DE的长．

【解析】
（1）连接OD，…（1分）
∵AB=AC，
∴∠C=∠OBD，
∵OD=OB，
∴∠1=∠OBD，…（2分）
∴∠1=∠C，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OD，
∴EF是⊙O的切线；…（3分）

（2）连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，…（4分）
又∵AB=AC，且BC=6，
∴CD=BD=BC=3，
在Rt△ACD中，AC=AB=5，CD=3，
根据勾股定理得：，
又S△ACD=AC•ED=AD•CD，
即×5×ED=×4×3，
∴．…（5分）