Question

已知关于x的二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）
（1）求c的值；
（2）求a的取值范围；
（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S₁，△PAB的面积为S₂，当0＜a＜1时，求证：S₁-S₂为常数，并求出该常数．

Answer

（1）把C（0，1）代入抛物线即可求出c；
（2）把A（1，0）代入得到0=a+b+1，推出b=-1-a，求出方程ax2+bx+1=0，的b2-4ac的值即可；
（3）设A（a，0），B（b，0），由根与系数的关系得：a+b=，ab=，求出AB=，把y=1代入抛物线得到方程ax2+（-1-a）x+1=1，求出方程的解，进一步求出CD过P作MN⊥CD于M，交x轴于N，根据△CPD∽△BPA，得出=，求出PN、PM的长，根据三角形的面积公式即可求出S1-S2的值即可．
（1）【解析】
把C（0，1）代入抛物线得：1=0+0+c，
解得：c=1，
答：c的值是1．

（2）【解析】
把A（1，0）代入得：0=a+b+1，
∴b=-1-a，
即ax2+（-1-a）x+1=0，
b2-4ac=（-1-a）2-4a=a2-2a+1＞0，
∴a≠1，
答：a的取值范围是a＞0，且a≠1；

（3）证明：∵ax2+（-1-a）x+1=0，
∴（ax-1）（x-1）=0，
∴B点坐标是（，0）而A点坐标（1，0）
所以AB=-1=

把y=1代入抛物线得：ax2+（-1-a）x+1=1，
解得：x1=0，x2=，
∴过P作MN⊥CD于M，交x轴于N，
则MN⊥X轴，
∵CD∥AB，
∴△CPD∽△BPA，
∴=，
∴=，
∴PN=，PM=，
∴S1-S2=••-••=1，
即不论a为何值，
S1-S2的值都是常数．
答：这个常数是1．