Question

已知函数y=（k-3）x²+2x+1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．

Answer

由于k的取值范围不能确定，故应分k-3=0和k-3≠0两种情况进行讨论，
（1）当k-3=0即k=3时，此函数是一次函数；
（2）当k-3≠0，即k≠3时，此函数是二次函数，根据函数图象与x轴有交点可知b2-4ac≥0，求出k的取值范围即可．
【解析】
（1）当k=3时，函数y=2x+1是一次函数．
∵一次函数y=2x+1与x轴有一个交点，
∴k=3．             …（1分）

（2）当k≠3时，y=（k-3）x2+2x+1是二次函数．
∵二次函数y=（k-3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，
∴b2-4ac≥0．                                     …（2分）
∵b2-4ac=22-4（k-3）=-4k+16，
∴-4k+16≥0．                                     …（3分）
∴k≤4且k≠3．                                   …（4分）
综合（1）（2）可知，k的取值范围是k≤4．            …（5分）