Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点H在⊙O上，E是  的中点，过点E作EC⊥AH，交AH的延长线于点C．连接AE，过点E作EF⊥AB于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若FB=2，tan∠CAE=，求OF的长．

Answer

（1）连接OE，由于点E为弧HB的中点，根据圆周角定理可知∠1=∠2，而OA=OE，那么∠3=∠2，于是∠1=∠3，根据平行线的判定可知OE∥AC，而AC⊥CE，根据平行线的性质易知∠OEC=90°，即OE⊥CE，根据切线的判定可知CE是⊙O的切线；
（2）由于AB是直径，那么∠AEB=90°，而EF⊥AB，易知∠1=∠2=∠4，那么tan∠1=tan∠2=tan∠4=，在Rt△EFB中，利用正切可求EF，同理在Rt△AEF中，也可求AF，那么直径AB=6，从而可知半径OB=3，进而可求OF．
（1）证明：连接OE，
∵点E为弧HB的中点，
∴∠1=∠2，
∵OE=OA，
∴∠3=∠2，
∴∠3=∠1，
∴OE∥AC，
∵AC⊥CE，
∴OE⊥CE，
∵点E在⊙O上，
∴CE是⊙O的切线；     
（2）【解析】
连接EB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵EF⊥AB于点F，
∴∠AFE=∠EFB=90°，
∴∠2+∠AEF=∠4+∠AEF=90°，
∴∠2=∠4=∠1．
∵tan∠CAE=，
∴tan∠4=，
在Rt△EFB中，∠EFB=90°，FB=2，tan∠4=，
∴EF=，
在Rt△AEF中，tan∠2=，EF=2，
∴AF=4，
∴AB=AF+EF=6，
∴OB=3，
∴OF=OB-BF=1．