Question

已知：如图，AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，点C是弦AB上一动点（不与点A、B重合），连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD．
（1）求弦AB的长；
（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数；
（3）当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、O、C为顶点的三角形相似？

Answer

（1）过点O作OE⊥AB于点E，根据锐角三角函数值，即可推出BE的长度，然后根据垂径定理即可推出AB的长度，（2）连接OA，由OA=OB=OC，即可推出∠OAB=∠B=30°，∠OAD=∠D=20°，然后结合图形即可推出∠BAD的度数，即可推出∠BOD的度数，（3））由∠BCO=∠DAB+∠D，可知∠BCO＞∠DAB，∠BCO＞∠D，根据相似三角形的判定定理，结合图形可推出，要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，由此可得，∠BOC=60°，∠BOD=120°，∠DAC=60°，由此可推出△DAC∽△BOC，可推出OC⊥AB，然后即可推出AC的长度．
【解析】
（1）过点O作OE⊥AB于点E，
∵在Rt△OEB中，OB=2，∠B=30°，
∴，
∴，

（2）连接OA，
∵OA=OB=OD，∠B=30°，∠D=20°，
∴∠OAB=∠B=30°，∠OAD=∠D=20°，
∴∠BAD=∠OAB+∠OAD=30°+20°=50°，
∴∠BOD=2∠BAD=100°，

（3）∵∠BCO=∠DAB+∠D，
∴∠BCO＞∠DAB，∠BCO＞∠D，
∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，
∴∠BOC=60°，∠BOD=120°，
∴∠DAC=60°，
∴△DAC∽△BOC，
∵∠BCO=90°，即OC⊥AB，
∴AC=AB=，
∴当时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、O、C为顶点的三角形相似．