Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AC=40，点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于点E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，且PM=PN，tan∠EMP=3．
（1）如图，当点E与点C重合时，求MP的长；
（2）设AP=x，△ENB的面积为y，求y与x的函数关系式，并求出当x取何值时，y有最大值，最大值是多少？

Answer

（1）由勾股定理求出AB的值，然后又三角形的面积公式建立等量关系求出EP的值，最后在Rt△CMP中由题目条件通过解直角三角形就可以求出MP的值．
（2）分E在AC上和在BC上时两种情况进行考虑，先利用三角形相似求出EP的值，再通过解直角三角形求出MP的值，最后根据三角形的面积公式就可以表示出y与x之间的函数关系式．根据自变量的取值范围和化为顶点式就可以求出其最大值．
【解析】
（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AC=40，
∴．  
由面积公式可得  AB•CP=BC•AC．
∴． 
∵PC⊥AB，tan∠CMP=3，
∴． 
（2）分两种情况考虑：
①当点E在线段AC上时，如图②，
在Rt△AEP和Rt△ABC中，
∵∠APE=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△APE∽△ACB．
∴，即 ，
∴．
∵tan∠EMP=3，
∴．
∴．
∴．
当点E与点C重合时，．
∴自变量x的取值范围是：0＜x＜32． 
②当点E在线段BC上时，如图③，
在Rt△BPE和Rt△BCA中，
∵∠BPE=∠BCA=90°，∠B=∠B，
∴△BPE∽△BCA．
∴，即 ，
∴．
∵tan∠EMP=3，
∴．
∴．
∴．
y与x的函数关系式为
当点E在线段AC上时，，
此时，当x=20时，y有最大值为．
而当点E在线段BC上时，y的最大值为点E与点C重合时，显然没有大．
∴当x=20时，y有最大值，最大值为．