Question

如图，AB是⊙O的直径，直线L交⊙O于C、D两点，分别作直线L的垂线，垂足分别为E、F，连接OE、OF．
（1）求证CE=DF   OE=OF
（2）若AB=10，CD=8．求AE+BF的长．

Answer

（1）作OM⊥l，垂足为M，根据垂径定理即可推出CM=DM，由平行线等分线段定理，可知ME=MF，通过等式性质即可求出结论，（2）连接OC，由AB=10，CD=8，即可推出CM和OC的长度，然后由勾股定理求得OM的长度，然后由OM是梯形AEFB中位线，根据梯形中位线的性质即可推出AE+BF=2OM=6．
证明：（1）作OM⊥l，垂足为M，
∴CM=DM，
∵AE⊥l，BF⊥l，
∴OM∥AE∥BF，
又∵OA=OB，
∴ME=MF，
∴ME-CM=MF-DM，
∴CE=DF，
又∵ME=MF，OM⊥EF，
∴OE=OF（垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）；

（2）连接OC，
∵AB=10，
∴OC=AB=5，
∵OM⊥CD，CD=8，
∴CM=CD=4，
∵Rt△OCM，
∴OM===3，
∵OA=OB，ME=MF，
∴OM是梯形AEFB中位线，
∴AE+BF=2OM=6，